Question

已知，其中為常數.
（Ⅰ）當函數的圖象在點處的切線的斜率為1時，求函數在上的最小值；
（Ⅱ）若函數在上既有極大值又有極小值，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，過點作函數圖象的切線，試問這樣的切線有幾條？并求這些切線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

試題分析：（Ⅰ）首先求的導數，利用導數的幾何意義列出方程解這個方程即可得的值，從而得函數的解析式，最后利用求閉區間上函數最值的一般步驟求在上的最小值；
（Ⅱ）先求的導數：，根據已知在上有兩不相等的實數根，將問題轉化為一元二次方程在上有兩不相等的實數根，最后利用根的判別式及韋達定理列不等式組解決問題；（Ⅲ）由已知不一定是切點，需先設切點根據導數的幾何意義，求函數在切點處的導函數值，再分（1）切點不與點重合；（2）切點與點重合，兩種情況求曲線的切線方程．
試題解析：（Ⅰ）由已知得解得           1分
故由得           2分
隨的變化關系如下表：

		↘		↗

                                            3分
于是可得：                          4分
（Ⅱ）                      5分
由題設可得方程有兩個不等的正實根，不妨設這兩個根為并令則（也可以），解得    8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）故
9分
設切點為由于點在函數的圖象上，
（1）當切點不與點重合，即當時，
由于切線過點則
化簡得即解得（舍去）               12分
（2）當切點與點重合，即當時，則切線的斜率于是切線方程為                                      13分
綜上所述，滿足條件的切線只有一條，其方程為                 14分
（注：若沒有分“點與點重合”討論，只要過程合理結論正確，本小題只扣1分）