Question

【題目】設函數f（x）= x3+ax2﹣8x﹣1（a＜0）．若曲線y=f（x）的切線斜率的最小值是﹣9．求：
（1）a的值；
（2）函數f（x）的極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= x3+ax2﹣8x﹣1，

∴f′（x）=x2+2ax﹣8．

∴當x=﹣a時，f′（x）有最小值﹣a2﹣8

由已知：﹣a2﹣8=﹣9，∴a2=1

∵a＜0，∴a=﹣1

（2）解：由（1）f′（x）=x2﹣2x﹣8

令f′（x）=0得x=﹣2或4

當x變化時，f′（x）及f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴當x=﹣2時，f（x）取得極大值，極大值為f（﹣2）= ；

當x=4時，f（x）取得極小值，極小值為f（4）=﹣

【解析】（1）先求出導函數的最小值，利用曲線y=f（x）的切線斜率的最小值是﹣9，求出a的值即可；（2）先求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，確定函數的單調區間可得函數f（x）的極大值和極小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．