Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為， 為該橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任作一直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的最大值為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，若直線分別交直線于兩點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意列出關(guān)于 、 、的方程組，結(jié)合性質(zhì) ， ，求出 、 、，即可得結(jié)果；（2）直線，直線與曲線聯(lián)立得，根據(jù)韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)可得，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）依題意知： ， ，

即；

所求橢圓的方程： ．

（2）由（1）知， ；

（�。┊�(dāng)直線斜率不存在時(shí)， ；

直線 ；

所以,同理；即；

即；所以．

（ⅱ）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，

，

由得：

即， ，

由三點(diǎn)共線得： ，同理

即, ,

∴

即

所以．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.