Question

已知函數在區間[-1，1]上單調遞減，在區間[1，2]上單調遞增，
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數解，求實數m的取值范圍；
（3）若函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與坐標軸無交點，求實數p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數在區間[-1，1]上單調遞減，在區間[1，2]上單調遞增根據函數取零點的條件，可得f’（1）=0，由此構造關于實數a的方程，解方程即可得到答案．
（2）由（1）中結論，我們可以求出函數f（x）的解析式及其導函數的解析式，進而分析出函數的單調性和極值，再根據方程f（2^x）=m有三個不同實數解，即f（x）=m有三個不同的正實數解，求出滿足條件的實數m的取值范圍；
（3）根據函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與坐標軸無交點，則f（x）+p＞0，f（x）+p≠1，構造關于P的不等式組，解不等式組求出實數p的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數
∴f’（x）=-x³+2x²+2ax-2
依題意，f（x） 在區間[-1，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增，
所以f（x）在x=1處有極值，即f’（1）=-1+2+2a-2=0，解出a=，
（2）由（1）得
f’（x）=-x³+2x²+x-2
令t=2^x，（t＞0）則t=2^x為增函數，每個x對應一個t，
而由題意：f（2^x）=m有三個不同的實數解，就是說，關于t的方程f（t）=m在t＞0時有三個不同的實數解．
∵f’（t）=-t³+2t²+t-2=-（t+1）（t-1）（t-2）
令f’（t）≥0以求f（t）的增區間，得-（t+1）（t-1）（t-2）≥0，保證t＞0，求得f（t）的增區間為1≤t≤2
令f’（t）≤0以求f（t）的減區間，得-（t+1）（t-1）（t-2）≤0，保證t＞0，求得f（t）的減區間為0＜t≤1或t≥2
所以f（t），
在t=1時有極小值，極小值為f（1）=，
在t=2時有極大值，極大值為f（2）=，
在t趨向于0時，f（t）趨向于-2．
∵＜＜-2
f（t）在t＞0上的圖象為雙峰形的一半，則要使f（t）=m有三個不同的實數解，須-＜m＜
（3）∵函數y=log₂[f（x）+p]的真數部分為f（x）+p，
∴f（x）+p＞0，
要使函數y=log2[f（x）+p]的圖象與x軸無交點，只有f（x）+p≠1，
由（2）知，f（x）的最大值為f（-1）=-，即f（x）≤-
所以f（x）+p≤p-，要使f（x）+p≠1，只有p-＜1，才能滿足題意，解之得，p＜，
又由f（x）+p＞0，即p＞，
故p的范圍是＜p＜．
點評：本題考查的知識點是函數取極值的條件，函數與方程的綜合應用，根的存在性及根的個數判斷，利用導數研究函數的單調性，指數函數的性質，對數函數的性質，是對函數性質及解答方法比較綜合的考查，熟練掌握基本初等函數的性質，會使用導數法求函數的單調性和極值點是解答本題的關鍵．