Question

設a為實常數，已知函數在區間[1，2]上是增函數，且在區間[0，1]上是減函數。

(Ⅰ)求常數的值；

(Ⅱ)設點P為函數圖象上任意一點，求點P到直線距離的最小值；

（Ⅲ）若當且時，恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)

（Ⅱ）

（Ⅲ）(－∞，1]

解析:

(Ⅰ)因為在區間[1，2]上是增函數，則

當x∈[1，2]時，恒成立，即恒成立，所以。        （2分）

又在區間[0，1]上是減函數，則

當x∈(0，1]時，恒成立，即恒成立，所以。

綜上分析，。                                                          （4分）

 (Ⅱ)因為，則。

令，則，。

所以函數圖象上點處的切線與直線平行。         （6分）

設所求距離的最小值為d，則d為點到直線的距離，

故。                                                （8分）

(Ⅲ)因為，則。因為當時，，所以在(0，1]上是減函數，從而。               （9分）

因為當時，恒成立，則。         （10分）

又當時，恒成立，則在時恒成立。    （11分）

因為在時是減函數，所以，從而，即。

故b的取值范圍是(－∞，1]。                                                   (13分)