Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，）.

（1）橢圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△OAB（O為原點(diǎn)）面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由橢圓的離心率，得，又由橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，，再由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求解.

（1）根據(jù)題意知：離心率，可得，即，

由，所以，整理得…….①

又由橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，即…..②

聯(lián)立①②，解得,所以橢圓C的方程為.

（2）由題意，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，消去y得，

因?yàn)橹本�與橢圓C相交于兩點(diǎn)，

所以，得，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，

所以

==

點(diǎn)到直線的距離

所以面積S△AOB=·d=()=

令，則，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)，面積取得最大值.