Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 且a1=1，an+1=2Sn+1，數列{bn}滿足a1=b1 ， 點P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上，n∈N* ．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）設 ，求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），

兩式相減得an+1﹣an=2an，

an+1=3an（n≥2）．

又a2=2S1+1=3，

所以a2=3a1．

故{an}是首項為1，公比為3的等比數列．

所以an=3n﹣1．

由點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．

則數列{bn}是首項為1，公差為2的等差數列．

則bn=1+（n﹣1）2=2n﹣1

（2）解：因為 ，所以 ．

則 ，

兩式相減得： ．

所以 =

【解析】（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），兩式相減得an+1﹣an=2an，即an+1=3an，不難判斷出{an}是首項為1，公比為3的等比數列且an=3n﹣1，根據點在直線上，代入直線方程可得bn+1﹣bn=2．則數列{bn}是首項為1，公差為2的等差數列bn=2n﹣1，（2）由（1）中的通項公式表示出cn，使用錯位相減即可得出Tn.
【考點精析】本題主要考查了等差數列的通項公式（及其變式）和等比數列的定義的相關知識點，需要掌握通項公式：或；如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列才能正確解答此題．