Question

【題目】已知橢圓C1： +x2=1（a＞1）與拋物線C ：x2=4y有相同焦點F1 ．
（Ⅰ）求橢圓C1的標準方程；
（Ⅱ）已知直線l1過橢圓C1的另一焦點F2 ， 且與拋物線C2相切于第一象限的點A，設平行l1的直線l交橢圓C1于B，C兩點，當△OBC面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵拋物線x2=4y的焦點為F1（0，1）， ∴c=1，又b2=1，∴
∴橢圓方程為： +x2=1．
（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直線l1的斜率必存在，

設直線l1：y=kx﹣1
由 消去y并化簡得x2﹣4kx+4=0
∵直線l1與拋物線C2相切于點A．
∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．
∵切點A在第一象限．
∴k=1
∵l∥l1
∴設直線l的方程為y=x+m
由 ，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，
解得 ．
設B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），則 ，
又直線l交y軸于D（0，m）
∴
=
當 ，即 時，
所以，所求直線l的方程為
【解析】（Ⅰ）求出拋物線的F1（0，1），利用橢圓的離心率，求出a、b即可求解橢圓方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直線l1的斜率必存在，聯立方程組，利用相切求出k，然后利用直線的平行，設直線l的方程為y=x+m聯立方程組，通過弦長公式點到直線的距離求解三角形的面積，然后得到所求直線l的方程．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．