Question

【題目】如圖，是半圓的直徑，，為圓周上一點，平面，，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，且使得平面？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）存在，為線段中點.

【解析】

（1）通過證明證得平面，結合證得平面，由此證得平面平面.

（2）通過計算證明證得，設為線段中點，為線段中點，連接，結合（1）的結論，利用等腰三角形的性質證得平面，證得四邊形是平行四邊形，由此由此還整得，進而證得平面.

（1）∵平面，∴．

又為圓周上一點且是半圓的直徑，∴．

∴平面．

又，

∴平面，且平面，

∴平面平面；

（2）點為線段中點，證明如下：

設，則，，

∴．又，∴．

∴．

取中點，連接．

∴．又由（1）可知平面平面，故平面．

又，，故，即四邊形為平行四邊形，

∴，∴平面．