Question

已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點．若直線OA、OB分別交直線l：y=x-2于M、N兩點，求|MN|的最小值．

Answer 1

（I）由題意可設拋物線C的方程為x²=2py（p＞0）則

p

2

=1，解得p=2，故拋物線C的方程為x²=4y
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+1
由

y=kx+1 x2=4y

消去y，整理得x²-4kx-4=0
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，從而有|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

k2+1

由

y= y1 x1 x y=x-2

解得點M的橫坐標為x_M=

2x1

x1-y1

=

2x1

x1- x12 4

=

8

4-x1

，
同理可得點N的橫坐標為x_N=

8

4-x2

所以|MN|=

2

|x_M-x_N|=

2

|

8

4-x1

-

8

4-x2

|=8

2

|

x1-x2

x1x2-4(x1+x2)+16

|=

8 2 k2+1

|4k-3|

令4k-3=t，t不為0，則k=

t+3

4

當t＞0時，|MN|=2

2

25 t2 + 6 t +1

＞2

2

當t＜0時，|MN|=2

2

25 t2 + 6 t +1

=2

2

( 5 t + 3 5 )2+ 16 25

≥

8 2

5

綜上所述，當t=-

25

3

時，|MN|的最小值是

8 2

5