Question

已知點P（x₀，y₀）是橢圓C：

x2

5

+y2=1上的一點．F₁、F₂是橢圓C的左右焦點．
（1）若∠F₁PF₂是鈍角，求點P橫坐標x₀的取值范圍；
（2）求代數式

y

20

+2x0的最大值．

Answer 1

（1）∵橢圓C：

x2

5

+y2=1，
∴a²=5，b²=1，∴c=

5-1

=2，
∴橢圓的焦點坐標為F₁（-2，0），F₂（2，0），
要使∠F₁PF₂=θ為鈍角，滿足cosθ＜0即可，
在△F₁PF₂中，根據余弦定理得：
|F1F2|2=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|，
∵cosθ=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

＜0，
只要|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2＜0，
又根據橢圓的第二定義知：
|PF₁|=e|x₀+

a2

c

|，|PF₂|=e|x₀-

a2

c

|，|F₁F₂|=2c，
∴|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2＜0，
[e|x0+

a2

c

|]²+[e|x0-

a2

c

|]²-（2c）²＜0，
∴x02+

a4

c2

-

2c2

e2

＜0，
∵e=

c

a

，a=

5

，c=2，∴x02-

15

4

＜0，
∴-

15

2

＜x0＜

15

2

．
∴點P橫坐標x₀的取值范圍{x₀|-

15

2

＜x0＜

15

2

}．
（2）∵點P（x₀，y₀）是橢圓C：

x2

5

+y2=1上的一點，
∴y02=1-

x02

5

，
∴

y

20

+2x0=1-

x02

5

+2x₀=-

1

5

（x₀-5）²+6，
∵-

5

≤x0≤

5

，
∴

y

20

+2x0在[-

5

，

5

]上是增函數，
∴當x0=

5

時，代數式

y

20

+2x0取最大值為1-

( 5 )2

5

+2

5

=2

5

．