Question

【題目】如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個內接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB＝a(a＞2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，設AE＝x，綠地面積為y.

(1)寫出y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；

(2)當AE為何值時，綠地面積y最大？

Answer 1

【答案】(1) y＝－2x2＋(a＋2)x(0＜x≤2);(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)可以用減法，整個矩形的面積-4個直角三角形的面積得到陰影面積，根據矩形邊長求函數定義域，、；（2）函數配方后可得，討論對稱軸和定義域端點值2的關系，定義域若包含對稱軸，那頂點最大，若定義域不包含對稱軸，那離對稱軸近函數值大，分情況得到函數的最大值.

試題解析：(1)由題意可知，S△AEH＝S△CGF＝，S△DHG＝S△BEF＝(a－x)(2－x)，

所以y＝－2S△AEH－2S△BEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x.

故函數解析式為y＝－2x2＋(a＋2)x(0＜x≤2)．

(2)因為y＝－2x2＋(a＋2)x (0＜x≤2)，

當，即a＜6時，則時，y取最大值，

當，即a≥6時，y＝－2x2＋(a＋2)x在x∈(0,2]上是增函數，

則x＝2時，y取最大值2a－4.

綜上所述：當a＜6時，AE＝時，綠地面積取最大值；

當a≥6時，AE＝2時，綠地面積取最大值2a－4.