Question

【題目】已知一定點，及一定直線：，以動點為圓心的圓過點，且與直線相切．

(Ⅰ)求動點的軌跡的方程；

(Ⅱ)設在直線上，直線，分別與曲線相切于，，為線段的中點．求證：，且直線恒過定點．

Answer 1

【答案】（1）動點的軌跡的方程為；（2）見解析.

【解析】

分析：（1）利用直接法，即可求動點的軌跡的方程；

（2）依題意可設，，，∴切線：，同理可得切線PB，故可得到，從而整理可得答案.

詳解：(1) ∵圓過點，且與直線相切，

∴點到點的距離等于點到直線的距離，

∴點的軌跡是以為焦點，以直線：為準線的一拋物線，

∴即，

∴動點的軌跡的方程為.

(2)依題意可設，，，

又，∴，∴，

∴切線的斜率，

∴切線：，即，

同理可得：切線的斜率，：，

又，∴且，

故方程即有兩根，，∴，

∴，∴，

又為線段的中點，∴，

又由得：，

即，同理可得：，

故直線的方程為，故直線恒過定點．