Question

【題目】已知f（x）=sin2（2x﹣ ）﹣2tsin（2x﹣ ）+t2﹣6t+1（x∈[ ， ]）其最小值為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）當﹣ ≤t≤1時，要使關于t的方程g（t）=kt有一個實根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x∈[ ， ]，

∴sin（2x﹣ ）∈[﹣ ，1]，

∴f（x）=[sin（2x﹣ ﹣t]2﹣6t+1，

當t＜﹣ 時，則當sinx=﹣ 時，f（x）min= ；

當﹣ ≤t≤1時，當sinx=t時，f（x）min=﹣6t+1；

當t＞1時，當sinx=1時，f（x）min=t2﹣8t+2；

∴g（t）=

（2）解：當 時，g（t）=﹣6t+1．令h（t）=g（t）﹣kt．

欲使g（t）=kt有一個實根，則只需使 或 即可．

解得k≤﹣8或k≥﹣5．

【解析】（1）利用x的范圍確定sin（2x﹣ ），對函數解析式化簡整理，對t進行分類討論，利用拋物線的性質求得每種情況的g（t）的解析式，最后綜合．（2）根據（1）中獲得當 時g（t）的解析式，令h（t）=g（t）﹣kt，要使g（t）=kt有一個實根需h（﹣ ）和h（1）異號即可．
【考點精析】關于本題考查的三角函數的最值，需要了解函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能得出正確答案．