Question

【題目】如圖，互相垂直的兩條公路AP、AQ旁有一矩形花園ABCD，現欲將其擴建成一個更大的三角形花園AMN，要求點M在射線AP上，點N在射線AQ上，且直線MN過點C，其中AB=36米，AD=20米．記三角形花園AMN的面積為S． （Ⅰ）問：DN取何值時，S取得最小值，并求出最小值；
（Ⅱ）若S不超過1764平方米，求DN長的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設DN=x米（x＞0），則AN=x+20． 因為DC∥AB，所以△NDC∽△NAM
所以 ，
所以 ，即 ．
所以
= ，當且僅當x=20時取等號．
所以，S的最小值等于1440平方米．
（Ⅱ）由 得x2﹣58x+400≤0．
解得8≤x≤50．
所以，DN長的取值范圍是[8，50]
【解析】（Ⅰ）由于DC∥AB得出△NDC∽△NAM，從而AN，AM用DN表示，利用三角形的面積公式表示出面積，再利用基本不等式求最值，注意等號何時取得．（Ⅱ）由S不超過1764平方米，建立不等式，從而可求DN長的取值范圍．