Question

（本題滿分14分）在邊長為3的正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足，將沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，連結，（如圖）（I）求證：  (Ⅱ)求點B到面的距離(Ⅲ)求異面直線BP與所成角的余弦

Answer 1

(Ⅰ)見解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

（I）在圖1中，取BE的中點D，連DF
∵，∵∴為正三角形
又∵AE="ED=1     " ∴ ∴在圖2中有，
∴為二面角的平面角
∵二面角為直二面角    ∴
又∵    ∴即 …………5分
(Ⅱ)∵BE//PF ∴BE//面∵B到面的距離即為E到面的距離，
∵，又BE//PF，∴
∴       ∵E到面的距離即為中E到的距離
d=A₁E×           ∴點B到面的距離為………………10分
(Ⅲ)∵DF//BP ∴即為所求角
中 ,
∴異面直線BP與所成角的余弦值為                  ………………14分
法二:(建立空間直角坐標系,略解)