Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中點，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．
（1）求證：PA⊥CM；
（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PA的中點N，連接MN，NC，

∵MN為△PAD的中位線，∴MN∥AD，

∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AD，

又∵AC⊥AD，PC∩AD=C，∴AD⊥平面PAC，

∴AD⊥PA，則MN⊥PA，

∵PC=AC，N為PA的中點，∴CN⊥PA，

∵MN∩NC=N，∴PA⊥平面MNC，

又∵CM平面MNC，∴PA⊥CM

（2）解：設(shè)PC=AC=1，則BC= ，

∵BA⊥BC，∴cos ，

∴∠ACD=∠ACB=60°，

又∵AC⊥CD，∴CD=2．

以B為坐標原點，以BA、CB所在直線分別為x、y軸，以過B點和PC平行的直線為z軸距離如圖所示坐標系．

則A（ ，0，0），C（0，﹣ ，0），D（ ，﹣ ，0），P（0，﹣ ，1），

∴M（ ，﹣1， ）．

， ．

∵DA⊥平面PAC，

∴ 是平面PAC的一個法向量．

設(shè) 是平面ACM的一個法向量，

則 ，即 ，令x=1，得 ．

∴|cos＜ ＞|=| |=| |= ．

由圖可知，二面角M﹣AC﹣P為銳角，

∴二面角M﹣AC﹣P的余弦值為 ．

【解析】（1）取PA的中點N，連接MN，NC，由三角形中位線定理可得MN∥AD，由PC⊥底面ABCD，得PC⊥AD，結(jié)合AC⊥AD，可得AD⊥平面PAC，進一步得到MN⊥PA，再由等腰三角形的性質(zhì)可知CN⊥PA，由線面垂直的判定得到PA⊥平面MNC，則有PA⊥CM；（2）設(shè)PC=AC=1，解三角形可得CD=2．以B為坐標原點，以BA、CB所在直線分別為x、y軸，以過B點和PC平行的直線為z軸距離如圖所示坐標系．求得A，C，D，P的坐標，進一步求出平面PAC與平面ACM的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣AC﹣P的余弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．