Question

【題目】如圖，在幾何體ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ= AB．
（1）證明：平面APD⊥平面BDP；
（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB中點E，連結(jié)PE，

∵AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，設(shè)CD=AD=AQ=PQ= AB=1．

∴PB⊥AD，PE=1，且PE⊥AB，

∴AP=PB= = ，

∴AP2+BP2=AB2，∴AP⊥BP，

∵AD∩AP=A，∴PB⊥平面APD，

∵PB平面BDP，∴平面APD⊥平面BDP

（2）解：以A為原點，AQ為x軸，AB為y軸，AD為z軸，

建立空間直角坐標系，

則P（1，1，0），B（0，2，0），C（0，1，1），

=（1，﹣1，0）， =（0，﹣1，1），

設(shè)平面BPC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，1，1），

平面ABP的法向量 =（0，0，1），

設(shè)二面角A﹣BP﹣C的平面角為θ，

則cosθ= = ，

∴sinθ= = ．

∴二面角A﹣BP﹣C的正弦值為 ．

【解析】（1）取AB中點E，連結(jié)PE，推導(dǎo)出PE⊥AB，AP⊥BP，從而PB⊥平面APD，由此能證明平面APD⊥平面BDP．（2）以A為原點，AQ為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣BP﹣C的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．