Question

【題目】已知函數， .

（1）令，討論函數的單調性；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）時， 在遞增， 遞減； 時， 在遞增；

時， 在和遞增， 遞減； 時， 在和遞增， 遞減；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出函數的解析式和定義域，求導，對實數分情況討論得出單調性；（2）若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),

只需 即可，由（1）中的單調性，求出的最小值，再求出的范圍。

試題解析：(1)解：h(x)=f(x)-g(x)= ,定義域為

,（x>0）

a0時， >0得x>1; <0得0<x<1.

所以h(x)在（1， ）遞增，（0,1）遞減

a=1時， ，所以h(x)在（0， ）遞增

0<a<1時， >0得0<x<a,或x>1; <0得a<x<1.所以h(x)在（0,a）和(1, )遞增，(a,1)遞減

a>1時， >0得0<x<1，或x>a； <0得1<x<a. 所以h(x)在（0,1）和(a, )遞增，(1,a)遞減

綜上： a 0時，h(x)在（1， ）遞增，（0,1）遞減

a=1時，h(x)在（0， ）遞增

0<a<1時，h(x)在（0,a）和(1, )遞增，(a,1)遞減

a>1時，h(x)在（0,1）和(a, )遞增，(1,a)遞減

(2) 若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),

只需 即可

由（1）知， 時，h(x)在遞增， =h(1)=4-a 0,解得a 4.又，所以 ，

ae時，h(x)在遞減， =h(e)= 解得,又ae，所以 ,1<a<e時，h(x)在遞減， 遞增。=h(a)=a-(a+1)lna-1+3=a+2-(a+1)lna 0

因為 ，所以h(a)在(1,e)遞減。所以，則h(a) 0恒成立，所以1<a<e ,綜上：a .