Question

【題目】【2018河北保定市上學期期末調研】已知點到點的距離比到軸的距離大1．

（I）求點的軌跡的方程；

（II）設直線： ，交軌跡于、兩點， 為坐標原點，試在軌跡的部分上求一點，使得的面積最大，并求其最大值．

Answer 1

【答案】（I）或；（II）．

【解析】試題分析：（1）求軌跡方程可直接根據題意設點列等式化簡即可或者根據我們所學的橢圓、雙曲線、拋物線的定義取對比也行本題因為點M到點F(1,0) 的距離比到y軸的距離大1，所以點M到點F(1,0)的距離等于它到直線m:x＝－1的距離由拋物線定義知道，點M的軌跡是以F為焦點，m為準線的拋物線或x軸負半軸；（2）根據題意先分析如何使的面積最大，可知當直線l的平行線與拋物線相切時△ABP的面積最大,然后根據點到線的距離公式求出高，弦長公式求出底，即得出面積

解析：（1）因為點M到點F(1,0) 的距離比到y軸的距離大1，所以點M到點F(1,0)的距離等于它到直線m:x＝－1的距離

由拋物線定義知道，點M的軌跡是以F為焦點，m為準線的拋物線或x軸負半軸

設軌跡C的方程為： ， ,

軌跡C方程為： ， 或 .

（2）設A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）,

直線l化成斜截式為 ,當直線l的平行線與拋物線相切時△ABP的面積最大,

由圖知P點在第四象限.拋物線在x軸下方的圖象解析式： ，所以,

，解得， ,所以P點坐標,P點到l的距離, A，B兩點滿足方程組 化簡得.

x1,x2 為該方程的根. 所以 ,

,

.