Question

【題目】如圖，為迎接校慶，我校準備在直角三角形ABC內的空地上植造一塊“綠地△ABD”，規劃在△ABD的內接正方形BEFG內種花，其余地方種草，若AB=a，∠DAB=θ，種草的面積為S1 ， 種花的面積為S2 ， 比值 稱為“規劃和諧度”．

（1）試用a，θ表示S1 ， S2；
（2）若a為定值，BC足夠長，當θ為何值時，“規劃和諧度”有最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BD=atanθ，

∴△ABD的面積為 （ ）

設正方形BEFG的邊長為t，

則由 得 ，∵t= ，

∴S2= ，

∴S1= ﹣S2= ﹣ ，

（2）

解：由（1） = ﹣1，

∵tanθ∈（0，+∞），

∴ = ﹣1= （tanθ+ ≥1，

當且僅當tanθ=1時取等號，此時θ= ．

∴當θ= 時，“規劃和諧度”有最小值，最小值是1．

【解析】（1）求出△ABD的面積為，設正方形BEFG的邊長為t，利用三角形的相似求出S2 ， 然后求出S1；（2）由（1） = ﹣1，通過tanθ∈（0，+∞），通過基本不等式推出，當θ= 時，“規劃和諧度”有最小值，最小值是1．