Question

如圖,四棱柱中,.為平行四邊形,, , 分別是與的中點.

(1)求證:;
(2)求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

(1)見解析 (2)

試題分析：(1) 先證明△ADE為正△，再利用余弦定理可求CE ，然后證明出CE⊥DE ，CE⊥DD₁，最后得到CE⊥平面DD₁E, 即可證明出CE⊥DF. (2)先建立以直線AB, AA₁分別為軸,軸建立空間直角坐標系,然后根據點坐標求出法向量，，再利用夾角公式求出二面角的平面角的余弦值.
(1)AD="AE," ∠DAB=60° ∴△ADE為正△
在△CDE中,由余弦定理可求CE=.
又.由勾股定理逆定理知CE⊥DE
又DD₁⊥平面ABCD,   CE平面ABCD. ∴CE⊥DD₁
∴CE⊥平面DD₁E, 又DF平面DD₁E. ∴CE⊥DF.
(2)以直線AB, AA₁分別為軸,軸建立空間直角坐標系,由題設A(0,0,0), E(1,0,0),
D₁(),  C
可求平面AEF的一個法向量為
平面CEF的一個法向量為
∴平面角滿足
又為純角 ∴
注:本題(1)也可建坐標直接證明.(2)的坐標系建法不唯一.