Question

已知拋物線C：y=

1

2

(x2+x)，點(diǎn)A（-1，0），B（0，2），點(diǎn)E是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E不在直線AB上），設(shè)E（x₀，y₀），C，D在直線AB上，ED⊥AB，EC⊥x軸．
（1）用x₀表示

AE

在

AB

方向上的投影；
（2）

| AC |

| AD |

2是否為定值？若是，求此定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)E（x₀，y₀），A（-1，0），B（0，2），寫出向量

AE

、

AB

的坐標(biāo)，根據(jù)投影的定義可用x₀表示

AE

在

AB

方向上的投影；
（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出向量

AC

，

AD

，再求出相應(yīng)的模，即可得結(jié)論．

解答：解：（1）E（x₀，y₀），A（-1，0），B（0，2）
∴

AE

=(x0+1，y0)，

AB

=(1，2)
∴

AE

在

AB

方向上的投影為

AE • AB

| AB |

=

x0+1+2y0

5

=

x0+1+ x 2 0 +x0

5

=

x 2 0 +2x0+1

5

（2）直線AB為y=2x+2，所以C（x₀，2x₀+2），D(

1

5

x

2 0

-

4

5

，

2

5

x

2 0

+

2

5

)
∴

AC

=(x0+1，2x0+2)，

AD

=(

1

5

x

2 0

+

1

5

，

2

5

x

2 0

+

2

5

)
∴

| AC |

| AD |

2=5

5

點(diǎn)評：本題以拋物線為載體，考查向量的數(shù)量積，考查向量的模，有一定的綜合性．