Question

【題目】已知橢圓，為左、右焦點，直線過交橢圓于，兩點.

（1）若垂直于軸時，求；

（2）當時，在軸上方時，求，的坐標；

（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2），（3）存在直線或

【解析】

（1）由橢圓方程可求得右焦點坐標，進一步求得，的坐標，即可求出；

（2）設，由，利用數量積為0可得與的方程，再由在橢圓上，得與的另一方程，聯立即可求得的坐標，從而得到直線的方程，與橢圓方程聯立即可求得的坐標；

（3）設，，直線：（斜率為零時不滿足題意），聯立直線方程與橢圓方程，結合，得，再由直線的方程：，得縱坐標，由直線的方程：，得N的縱坐標，結合根與系數的關系，得，解得值，從而得到直線方程．

（1）依題意，，當軸時，則，，得；

（2）設，∵，

∴，

又在橢圓上，滿足，即，

∴，解得，即．

直線，

聯立，解得；

（3）設，，

直線：（斜率為零時不滿足題意），

則，．

聯立，得．

則，．

由直線的方程：，得縱坐標；

由直線的方程：，得的縱坐標．

若，即，

，

，即，

∴，解得．

∴存在直線或滿足題意．