Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1為矩形，AB=1，AA1= ，D為AA1的中點，BD與AB1交于點O，CO⊥面ABB1A1
（Ⅰ）證明：BC⊥AB1
（Ⅱ）若OC=OA，求二面角A﹣BC﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：由△AB1B與△DBA相似，知DB⊥AB1，

又CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥AB1，

∴AB1⊥平面BDC，∴AB1⊥BC．

（Ⅱ）解：以O為坐標原點，OA、OD、OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則A（ ，0，0），B（0，﹣ ，0），C（0，0， ），B1（﹣ ，0，0），

=（0， ， ）， =（﹣ ，﹣ ，0）， =（﹣ ， ，0），

設平面ABC，平面BCB1的法向量分別為 ，

則 ，取x= ，得 =（ ），

，取a=1，得 =（1， ，﹣2），

∴cos＜ ＞= = ，

∴二面角A﹣BC﹣B1的余弦值為﹣ ．

【解析】（Ⅰ）推導出DB⊥AB1，CD⊥AB1，從而AB1⊥平面BDC，由此能證明AB1⊥BC．（Ⅱ）以O為坐標原點，OA、OD、OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣B1的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關系(相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點)．