Question

【題目】已知橢圓C1： =1（a＞b＞0）的離心率e= ，且過點 ，直線l1：y=kx+m（m＞0）與圓C2：（x﹣1）2+y2=1相切且與橢圓C1交于A，B兩點． （Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）過原點O作l1的平行線l2交橢圓于C，D兩點，設|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得 ， 解得a=4，b=2，
故 ；
（Ⅱ）聯立 ，
化簡得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，
△＞0恒成立，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則 ，得 ，
∴ ，
把l2：y=kx代入 ，得 ，
∴ ，
∴
= = ，
當 ，λ取最小值 ．
【解析】（Ⅰ）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組得a，b，c的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）聯立直線l1的方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用弦長公式求得AB的長度，聯立直線l2的方程與橢圓方程，求出CD的長度，結合|AB|=λ|CD|利用換元法求解λ的最小值．