Question

(本題滿分12分)國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值υ(美元)與其重量ω(克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．
(1)寫出υ關于ω的函數關系式；(2)若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；(3)試用你所學的數學知識證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1∶1切割，價值損失的百分率最大．(注：價值損失的百分率 =  ×100％；在切割過程中的重量損耗忽略不計)

Answer 1

(Ⅰ)v =6000ω²  (Ⅱ) 37.5％．（Ⅲ）重量比為1∶1

(1)依題意設v=kω²，……2分
又當ω=3時，v=54000，∴k=6000，…3分 故v =6000ω²．……4分
(2)設這顆鉆石的重量為a克拉，由(1)可知，按重量比為l∶3切割后的價值為
6000(a)²+6000(a)²． 6分 價值損失為6000a一[6000(a)²+6000(a)²]．…7分
價值損失的百分率為
答：價值損失的百分率為37.5％．…8分
(3)若把一顆鉆石按重量比為m∶n切割成兩顆，價值損失的百分率應為
，…10分又，…11分
等號當且僅當m=n時成立.即重量比為1∶1時，價值損失的百分率達到最大．… 12分