Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD=DC=4，AD=2，E為PC的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥PC；
（Ⅱ）求三棱錐A-PDE的體積；
（Ⅲ）AC邊上是否存在一點M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．（2分）
又因為ABCD是矩形，
所以AD⊥CD．（3分）
因為PD∩CD=D，
所以AD⊥平面PCD．
又因為PC?平面PCD，
所以AD⊥PC．（5分）
（Ⅱ）因為AD⊥平面PCD，
所以AD是三棱錐A-PDE的高．
因為E為PC的中點，且PD=DC=4，
所以S△PDE=

1

2

S△PDC=

1

2

×(

1

2

×4×4)=4．（7分）
又AD=2，
所以VA-PDE=

1

3

AD•S△PDE=

1

3

×2×4=

8

3

．（9分）
（Ⅲ）取AC中點M，連接EM，DM，
因為E為PC的中點，M是AC的中點，
所以EM∥PA．
又因為EM?平面EDM，PA?平面EDM，
所以PA∥平面EDM．（12分）
所以AM=

1

2

AC=

5

．
即在AC邊上存在一點M，使得PA∥平面EDM，AM的長為

5

．（14分）