Question

【題目】如圖①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．將△ABC沿BC邊上的高AD折成一個如圖②所示的四面體A﹣BCD，使得圖②中的BC=11．

（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；
（2）在四面體A﹣BCD的棱AD上是否存在點P，使得 =0？若存在，請指出點P的位置；若不存在，請給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知AD⊥BD，AD⊥CD，

故二面角B﹣AD﹣C的平面角為∠BDC，

在圖①，設BD=x，AD=h，則CD=14﹣x，

在△ABD與△ACD中，分別用勾股定理得x2+h2=152，（14﹣x）2+h2=132，

得x=9，h=12，從而AD=12，BD=9，CD=5，

在圖②的△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2﹣2BDCDcos∠BDC，

即112=92+52﹣2×9×5cos∠BDC，則cos∠BDC=﹣ ，

即二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值是﹣

（2）解：假設在四面體A﹣BCD的棱AD上存在點P，使得 ，

則0= =（ + ）（ + ）= 2+ + + = 2+0+0+9×5×（﹣ ）= 2﹣ ，

則| |= ＜12，符號題意，

即在棱AD上存在點P，使得 ，此時| |=

【解析】（1）根據圖象折之前和折之后的邊長關系，合二面角的定義進行求解．（2）假設在四面體A﹣BCD的棱AD上存在點P，使得 根據向量數量積的定義結合向量的運算法則進行化簡求解．