Question

【題目】二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）滿足條件：
①當x∈R時，f（x）的圖象關于直線x=﹣1對稱；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值為0；
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的對稱軸為x=﹣1，

∴ =﹣1，即b=2a

又f（1）=1，即a+b+c=1

由條件③知：a＞0，且 ，即b2=4ac

由上可求得

∴

（2）解：由（1）知： ，圖象開口向上．

而y=f（x+t）的圖象是由y=f（x）平移t個單位得到，要x∈[1，m]時，f（x+t）≤x

即y=f（x+t）的圖象在y=x的圖象的下方，且m最大．

∴1，m應該是y=f（x+t）與y=x的交點橫坐標，

即1，m是 的兩根，

由1是 的一個根，得（t+2）2=4，解得t=0，或t=﹣4

把t=0代入原方程得x1=x2=1（這與m＞1矛盾）

把t=﹣4代入原方程得x2﹣10x+9=0，解得x1=1，x2=9∴

m=9

綜上知：m的最大值為9

【解析】（1）利用條件①②③，可確定解析式中的參數，從而可得函數f（x）的解析式；（2）y=f（x+t）的圖象是由y=f（x）平移t個單位得到，要x∈[1，m]時，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的圖象在y=x的圖象的下方，且m最大．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和二次函數在閉區間上的最值的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；當時，當時，；當時在上遞減，當時，才能正確解答此題．