Question

當-

π

2

≤x≤

π

2

時函數f(x)=sinx+

3

cosx的最大值為M，最小值為N，則M-N=

2+

3

．

Answer 1

分析：把函數解析式提取2，利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由x的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得到正弦函數的值域，進而得到函數的值域，得到函數的最大值及最小值，確定出M和N，即可求出M-N的值．

解答：解：f(x)=sinx+

3

cosx
=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）
=2sin（x+

π

3

），
∵-

π

2

≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤x+

π

3

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin（x+

π

3

）≤1，
則-

3

≤f（x）≤2，即最大值M=2，最小值N=-

3

，
則M-N=2+

3

．
故答案為：2+

3

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，其中利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．