Question

【題目】在多面體中，四邊形與均為正方形， 平面， 平面，且.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先根據線面垂直判定定理由線線垂直得線面垂直： 平面，即得平面， .再根據勾股定理計算可得，最后根據線面垂直判定定理得平面；（2）利用空間向量求二面角大小：先根據條件建立恰當直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解出平面法向量，利用向量數量積求出兩法向量夾角，最后根據法向量夾角與二面角關系得結論

試題解析：解：(1)證明：由題意可得， ，

∴平面，

∵，

∴平面，

而平面，

∴.

如圖，連接，

∵平面， 平面，

∴，∴四邊形為直角梯形，

設，則依題意， ，

∴，

，

，

∴.

∴，又， ，

∴平面；

(2)解：由(1)知兩兩垂直，

以分別為軸建立空間直角坐標系，設，

則， ， ， ， ，

∴， ，

設是平面的一個法向量，

則，∴，取，得.

又是平面的一個法向量，

∴，

∴二面角的余弦值為.