Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， ，平面平面， 為的中點， 是棱上的點， ， ， ．

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角大小為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）推導出四邊形為平行四邊形，從而.又.從而平面，根據面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以為原點， 為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系.利用空間向量夾角余弦公式可確定的位置，進而可得結果.

試題解析：

（1）∵， ， 為的中點，

∴四邊形為平行四邊形，∴

又∵，∴，即.

又∵平面平面，且平面平面

∴平面，∵平面，

∴平面平面.

（2）∵， 為的中點，∴

∵平面平面，且平面平面

∴平面

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

平面的法向量為

又，∴設，

又，設平面的法向量為

取

∵二面角為，∴

∴，∴線段的長為.