Question

【題目】設(shè)關(guān)于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集為A，且 ∈A，﹣ A．
（1）對任意的x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值．
（2）若a+b=1，a，b∈R+ ， 求 + 的最小值，并指出取得最小值時a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：關(guān)于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集為A，且 ∈A，﹣ A，

則a＞| ﹣2|且a≤|﹣ ﹣2|，即有 ＜a≤ ，①

x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，即有

|x﹣1|+|x﹣3|的最小值為2，

x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，即有

a2+a≤2，解得﹣2≤a≤1，②

由①②可得 ＜a≤1，

由a∈N，則a=1

（2）解：若a+b=1，a＞0，b＞0，

則 + = + = +（ + ）

≥ +2 = ，

當且僅當 = ，即a= ∈（ ， ]，b= 時，

取得最小值，且為

【解析】（1）由 ∈A，﹣ A可得 ＜a≤ ，再由絕對值不等式的性質(zhì)可得|x﹣1|+|x﹣3|的最小值為2，結(jié)合恒成立思想，可得a2+a≤2，解出不等式，求交集，再由a∈N，即可得到a；（2）由條件可得 + = + ，運用基本不等式求出最小值，同時求出取等號的a的值．
【考點精析】通過靈活運用基本不等式在最值問題中的應(yīng)用和絕對值不等式的解法，掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”；含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題．