Question

【題目】已知函數．

（1）若直線與曲線恒相切于同一定點，求的方程；

（2）當時， ，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意得，直線與曲線恒相切于同一定點，由，得曲線恒過的定點為，再由導數的幾何意義可得切線的方程；（2）構造函數，二次求導，再分別對進行討論： ， ， ，綜合取交集即可.

試題解析：（1）因為直線與曲線恒相切于同一定點，

所以曲線必恒過定點，

由，令，得，

故得曲線恒過的定點為.

因為，所以切線的斜率，

故切線的方程為，即.

（2）令，

.

令，

.

①當時，因為，

所以在上單調遞增，故，

因為當時， ，

所以在上單調遞增，故.

從而，當時， 恒成立.

②當時，

因為在上單調遞增，所以，

故與①同理，可得當時， 恒成立.

③當時， 在上單調遞增，

所以當時， 在內取得最小值.

取，

因為，

所以，

前述說明在內，存在唯一的，使得，且當時， ，

即在上單調遞減，

所以當時， ，

所以在上單調遞減，

此時存在，使得，不符合題設要求.

綜上①②③所述，得的取值范圍是.

說明：③也可以按以下方式解答：

當時， 在上單調遞增，

所以當時， 在內取得最小值，

當時， ，所以，

故存在，使得，且當時， ，

下同前述③的解答.