Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖如圖所示，D、E分別為棱CC₁和B₁C₁的中點．
（1）求異面直線A₁D與AB所成角的余弦值；
（2）求點C到平面A₁BD的距離；
（3）在AC上是否存在一點F，使EF⊥平面A₁BD，若存在確定其位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，分別求出兩條直線所在的向量，進而利用向量的有關運算求出空間向量的夾角，再轉化為兩條異面直線的夾角．
（2）求出平面的法向量以及平面的一條斜線所在的向量，再求出斜線所在的向量在法向量上射影，進而得到答案．
（3）設F（x，0，0），由E（0，1，2），可求出向量 ，則 為平面A₁BD的一個法向量，由此構造方程，求出x值，即可得到F點的位置．
解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標系，則B（2，0，0），D（0，0，1），A₁（0，2，2），A（0，2，0），
所以，，
所以cos＜A₁D，AB＞=||=．

所以異面直線A₁D與AB所成角的余弦值為．
（2）由（1）可得：，
設平面A₁DB的法向量為，
則
所以可得：，
又因為，
所以cos＜n₁，＞==，
所以d=．
所以點C到平面A₁BD的距離．
（3）存在F為AC的中點，使EF⊥平面A₁BD
設F（0，y，0），由E（1，0，2）得
若EF⊥平面A₁BD，則由得y=1，
∴F為AC的中點
∴存在F為AC的中點，使EF⊥平面A₁BD
點評：本題考查的知識點是利用空間向量夾角空間夾角與空間距離等問題，并且考查由三視圖還原實物圖，以及基本運算能力．