Question

【題目】設，函數．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若對恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】

試題(1)當時，根據函數的解析式求得切點坐標，由導數的幾何意義求出切線的斜率，根據直線的點斜式方程即可得到切線方程；（2）先討論函數的符號，由于，所以可分離參數得到，構造函數，利用導數研究的單調性求出其最大值，求得實數的取值范圍，再確定函數的符號，再分離參數，構造新函數，求得函數的最小值，綜合以上過程即得實數的取值范圍.

試題解析:（1）當時，，∴，∵，

∴曲線在點處的切線方程為即．

（2）若對恒成立，即對恒成立，則，

設，則，

當時，，函數遞增；當時，，函數遞減，所以當時，，∴．

∵無最小值，∴對恒成立不可能．

∵對恒成立，∴，即對恒成立．

設，∴，當時，，函數遞減；

當時，，函數遞增，所以當時，，∴．

綜上可得，．