Question

【題目】已知過點作動直線與拋物線相交于，兩點.

（1）當直線的斜率是時，，求拋物線的方程；

（2）設，的中點是，利用（1）中所求拋物線，試求點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）;（2）（或）.

【解析】試題（1）根據得到①，再結合韋達定理，，解出即可.

(2)根據（1）中的韋達定理得到的參數方程，消去參數得點的軌跡方程：.

試題解析：設，，顯然，，

（1）由題意當直線的斜率為時，其方程為：，即，

又∵，∴①，

聯立，消去得：，

∴，且，，

結合①式，可以解出，所以拋物線方程是：.

（2）當直線垂直于軸時，其與拋物線只有一個公共點，不符題意，

所以直線的方程可以設為：，設、中點，

由，消去得：，即，

由解得或，且，

∴，

∴，消去得點的軌跡方程：，

由的取值范圍可求出或.

∴點的軌跡方程：（或）.