Question

【題目】已知四邊形為矩形, ,為的中點,將沿折起,得到四棱錐,設的中點為,在翻折過程中,得到如下有三個命題:

①平面，且的長度為定值；

②三棱錐的最大體積為；

③在翻折過程中，存在某個位置，使得.

其中正確命題的序號為__________．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②

【解析】

取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，得出，可判斷出命題①的正誤；由為的中點，可知三棱錐的體積為三棱錐

的一半，并由平面平面，得出三棱錐體積的最大值，可判斷出命題②的正誤；取的中點，連接，由，結合得出平面，推出得出矛盾，可判斷出命題③的正誤.

如下圖所示：

對于命題①，取的中點，連接、，則，，

，由勾股定理得，

易知，且，、分別為、的中點，所以，，

四邊形為平行四邊形，，，

平面，平面，平面，命題①正確；

對于命題②，由為的中點，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，當平面平面時，三棱錐體積取最大值，

取的中點，則，且，

平面平面，平面平面，，

平面，平面，

的面積為，

所以，三棱錐的體積的最大值為，

則三棱錐的體積的最大值為，命題②正確；

對于命題③，，為的中點，所以，，

若，且，平面，

由于平面，，事實上，易得，，

，由勾股定理可得，這與矛盾，命題③錯誤.

故答案為：①②.