Question

【題目】如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ．
（1）求證：AB⊥平面BCF；
（2）求直線AE與平面BDE所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點M，連接EM，則AM=MB=1，

∵EF∥平面ABCD，EF平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴EF∥AB，即EF∥MB．

∵EF=MB=1

∴四邊形EMBF是平行四邊形．

∴EM∥FB，EM=FB．

在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB= ．

∴EM= ．

在△AEM中，AE= ，AM=1，EM= ，

∴AM2+EM2=3=AE2，

∴AM⊥EM．

∴AM⊥FB，即AB⊥FB．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB⊥BC．

∵FB∩BC=B，FB平面BCF，BC平面BCF，

∴AB⊥平面BCF．

（2）解：連接AC，AC與BD相交于點O，則點O是AC的中點，

取BC的中點H，連接OH，EO，FH，

則OH∥AB，OH= AB=1．

由（1）知EF∥AB，且EF= AB，

∴EF∥OH，且EF=OH．

∴四邊形EOHF是平行四邊形．

∴E0∥FH，且EO=FH=1．

由（1）知AB⊥平面BCF，又FH平面BCF，

∴FH⊥AB，

∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH平面ABCD，BC平面ABCD，

∴FH⊥平面ABCD．

∴E0⊥平面ABCD．

∵AO平面ABCD，

∴EO⊥AO．

∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO平面EBD，BD平面EBD，

∴AO⊥平面EBD．

∴∠AEO是直線AE與平面BDE所成的角．

在Rt△AOE中，tan∠AEO= = ．

∴直線AE與平面BDE所成角的正切值為 ．

【解析】（1）先證明出四邊形EMBF是平行四邊形，推斷出EM∥FB，EM=FB．進而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根據邊長推斷出AM2+EM2=3=AE2 ， 進而證明出AM⊥EM．然后證明出四邊形ABCD是正方形，進而推斷出AB⊥BC．最后通過線面垂直的判定定理證明出AB⊥平面BCF．（2）先證明出∠AEO是直線AE與平面BDE所成的角，進而在Rt△AOE中，求得tan∠AEO．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．