Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥側面A1ABB1 ， 且AA1=AB=2．

（1）求證：AB⊥BC；
（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為 ，求銳二面角A﹣A1C﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如下圖，

取A1B的中點D，連接AD，

因AA1=AB，則AD⊥A1B

由平面A1BC⊥側面A1ABB1，

且平面A1BC∩側面A1ABB1=A1B，

得AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，

所以AD⊥BC

因為三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，

則AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC．

又AA1∩AD=A，從而BC⊥側面A1ABB1，

又AB側面A1ABB1，故AB⊥BC

（2）解：連接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，

則CD是AC在平面A1BC內的射影

∴∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，則

在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且點D是A1B中點

∴ ，且 ，

∴

過點A作AE⊥A1C于點E，連DE

由（1）知AD⊥平面A1BC，則AD⊥A1C，且AE∩AD=A

∴∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，

且直角△A1AC中：

又 ，

∴ ，

且二面角A﹣A1C﹣B為銳二面角

∴ ，即二面角A﹣A1C﹣B的大小為 ．

【解析】（1）取A1B的中點D，連接AD，由已知條件推導出AD⊥平面A1BC，從而AD⊥BC，由線面垂直得AA1⊥BC．由此能證明AB⊥BC．（2）連接CD，由已知條件得∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．