Question

【題目】函數．

（1）求函數的最大值；

（2）對于任意，且，是否存在實數，使恒

成立，若存在求出的范圍，若不存在，說明理由；

（3）若正項數列滿足，且數列的前項和為，試判斷與

的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；(3) ．

【解析】

試題分析：（1）求出函數的定義域、導數，由導數的符號可知函數的單調性，根據單調性即可得到函數的最大值；（2）恒成立，只需，可設，又，則只需在上為單調遞減函數，從而有在上恒成立，分量參數后化為函數的最值，利用導數求解最值即可；（3）由，得，知數列為等差數列，得，比較與大小，只需比較與的大小，由（1）知，，即，分別令，可得個不等式，累加可知結論．

試題解析：(1) ,

則，

所以函數單調遞減，函數單調遞增．

從而

（2）若恒成立，

則，

設函數，又，

則只需函數在上為單調遞減函數，

即在上恒成立，

則，

記，則，從而在上單調遞減，在單調遞增，

故，

則存在，使得不等式恒成立．

（3）由．

即，由，得，

因為，由（1）知時，，

故，

即