Question

【題目】如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面⊥平面， .

(Ⅰ) 求證：；

(Ⅱ) 求證：平面⊥平面；

(Ⅲ) 在線段上是否存在點，使得⊥平面？ 說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）存在點N符合題意

【解析】

（Ⅰ） 推導(dǎo)出AB∥CD．由此能證明CD∥平面ABFE．（Ⅱ） 推導(dǎo)出AE⊥DE，AB⊥AD，從而AB⊥平面ADE，進而 AB⊥DE，由此能證明DE⊥平面ABFE，從而平面ABFE⊥平面CDEF．（Ⅲ）取CD的中點N，連接FN，推導(dǎo)出四邊形EDNF是平行四邊形，從而FN∥DE，由DE⊥平面ABFE，能證明FN⊥平面ABFE．

證明：(Ⅰ)在五面體中，因為四邊形是正方形，

所以.

因為平面,平面，

所以平面.

(Ⅱ)因為,，

所以，所以，即.

因為四邊形是正方形，所以.

因為平面⊥平面，平面 平面，

所以⊥平面.

因為,所以⊥.

因為所以⊥平面

因為，所以平面⊥平面.

(Ⅲ)在線段上存在點，使得⊥平面.

證明如下：

取的中點，連接.

由（Ⅰ）知,,

,

所以.

因為

所以.

所以四邊形是平行四邊形.

所以.

由(Ⅱ)知，⊥平面，

所以.