Question

已知函數f（x）=x³-ax²-3x.
（1）若f（x）在區間［1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若x=-是f（x）的極值點，求f（x）在［1，a］上的最大值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數b，使得函數g（x）=bx的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，試說明理由.

Answer 1

（1）a≤0（2）f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6（3）存在符合條件的實數b，b的范圍為b＞-7且b≠- 3

 （1）f′(x)=3x²-2ax-3
∵f(x)在［1，+∞）上是增函數,
∴f′(x)在［1，+∞）上恒有f′(x)≥0，
即3x²-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立
則必有≤1且f′(1)=-2a≥0,∴a≤0.
(2）依題意，f′(-)=0,即+a-3=0
∴a=4,∴f（x）=x³-4x²-3x
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
得x₁=-，x₂=3.則
當x變化時，f′(x),f(x)的變化情況如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
		-	0	+
f (x)	-6		-18		-12

∴f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6.
（3）函數g（x）=bx的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，即方程x³-4x²-3x=bx恰有3個不等實根
∴x³-4x²-3x-bx=0，∴x=0是其中一個根，
∴方程x²-4x-3-b=0有兩個非零不等實根，
∴,∴b＞-7且b≠-3.
∴存在符合條件的實數b，b的范圍為b＞-7且b≠- 3.