Question

【題目】橢圓 的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ，過點F1且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為 ，直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的A，B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若在橢圓C上存在點Q滿足： （O為坐標原點）．求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ， ，又a2=b2+c2，聯立解得 ．

故所求橢圓C的方程為 ．

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）

當λ=0時由 知， ，A與B關于原點對稱，存在Q滿足題意，∴λ=0成立．

當λ≠0時，設直線AB的方程為y=kx+m．

聯立 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

由△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0解得m2＜1+2k2…（*）

∴ ， ．

由 ，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0），可得x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

∴ ，

代入到 得到 ，

代入（*）式 ，

由1+2k2＞0得λ2＜4，解得﹣2＜λ＜2且λ≠0．

∴綜上λ∈（﹣2，2）．

【解析】（1）由已知得 ， ，又a2=b2+c2 ， 聯立解得即可．（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），Q（x0 ， y0），分類討論：當λ=0時，利用橢圓的對稱性即可得出；λ≠0時，設直線AB的方程為y=kx+m．與橢圓的方程聯立得到△＞0及根與系數的關系，再利用向量相等，代入計算即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．