Question

(本小題滿分12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足，且

（1）求{}的通項(xiàng)公式；(5分)
（2）設(shè)數(shù)列{}滿足，并記為{}的前n項(xiàng)和，
求證：.   (7分)

Answer 1

（I）解：由，解得或，由假設(shè)，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，
故的通項(xiàng)為．
（II）證法一：由可解得；
從而．
因此．
令，則．
因，故．
特別地，從而．
即．
證法二：同證法一求得及，
由二項(xiàng)式定理知，當(dāng)時(shí)，不等式成立．
由此不等式有
．
證法三：同證法一求得及．
令，．
因．因此．
從而
．
證法四：同證法一求得及．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．
當(dāng)時(shí)，，，
因此，結(jié)論成立．
假設(shè)結(jié)論當(dāng)時(shí)成立，即．
則當(dāng)時(shí)，



因．故．
從而．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立．
綜上對(duì)任何成立．

（I）解：由，解得或，由假設(shè)，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，
故的通項(xiàng)為．
（II）證法一：由可解得；
從而．
因此．
令，則．
因，故．
特別地，從而．
即．
證法二：同證法一求得及，
由二項(xiàng)式定理知，當(dāng)時(shí)，不等式成立．
由此不等式有
．
證法三：同證法一求得及．
令，．
因．因此．
從而
．
證法四：同證法一求得及．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．
當(dāng)時(shí)，，，
因此，結(jié)論成立．
假設(shè)結(jié)論當(dāng)時(shí)成立，即．
則當(dāng)時(shí)，



因．故．
從而．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立．
綜上對(duì)任何成立．