Question

已知sinx+sinα=

1

3

，求關于x的函數y=1+sinx+sin²α的最值．

Answer 1

分析：有偶題意求出sinα，并由正弦函數的值域求出sinx的范圍，代入解析式并且配方，再由sinx的范圍和二次函數的單調性求出函數的最值．

解答：解：由sinx+sinα=

1

3

得，sinα=

1

3

-sinx，
則-1≤

1

3

-sinx≤1，解得-

2

3

≤sinx≤

4

3

，即-

2

3

≤sinx≤1，
代入解析式得，
y=1+sinx+(

1

3

-sinx)2=sin2x+

1

3

sinx+

10

9

=(sinx+

1

6

)2+

13

12

，
∵-

2

3

≤sinx≤1，
∴當sinx=1時，函數取到最大值是y=1+

1

3

+

10

9

=

22

9

，
當sinx=-

1

6

時，函數取到最小值是y=

13

12

．

點評：本題考查了整體思想，配方法，以及正弦函數的值域應用，以及二次函數的性質應用，屬于綜合題．