Question

【題目】如圖，ABCD為直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD=2，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PB⊥BD．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)P，且直線l∥直線BC，試在直線l上找一點(diǎn)E，使得直線PC∥平面EBD；
（3）若PC⊥CD，PB=4，求四棱錐P﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵ABCD為直角梯形，AD=AB=BD，
∴AB⊥BD，
∵PB⊥BD，AB∩PB=B，AB，PB平面PAB，
BD⊥平面PAB，
∵PA面PAB，∴PA⊥BD；
（2）解：在上l取一點(diǎn)E，使PE=BC，
∵PE∥BC，∴四邊形BCPE是平行四邊形，
∴PC∥BE，PC平面EBD，BE平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）解：∵PC⊥CD，DC⊥BC，PC∩BC=C，
∴DC⊥平面PBC，
∴DC⊥PB，
∵PB⊥BD，BD∩DC=D，
∴PB⊥平面ABCD，
∴四棱錐P﹣ABCD的體積為=2．
【解析】（1）要證PA⊥BD，只需證明AB⊥BD、PB⊥BD（因?yàn)镻A、PB是平面PAB內(nèi)的兩條相交直線）；
（2）在上l取一點(diǎn)E，使PE=BC，利用直線l∥直線BC，推出PC∥BE，可以證明直線PC∥平面EBD；
（3）證明PB⊥平面ABCD，再求四棱錐P﹣ABCD的體積．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．