Question

【題目】將正整數1，2，…，10填于正五角星的十個頂點處，使得每條直線上所填四個數之和相等，問：這種填數方案是否存在?若存在，請給出填數方案的個數（經過旋轉或對稱之后能重合的方案視為同一種方案）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

若存在滿足要求的填數方案，則每條直線上的四個數之和為．

如圖，令五角星外頂點所填數分別為，，…，，

對應的內頂點所填數分別為，，…，．

則（）此處下角標取模5非負剩余．

若是一種填數方案，作互補變換，則也是一種不同的填數方案．

注意到，10必須與1、2均共線，9必須與1共線．

否則，10所在的兩條直線上的數之和，矛盾．

若1填在內頂點處，不妨設，再由對稱性，不妨設．

由，，，

知，，且．

經驗證，當時，方案不存在．

若1填在外頂點處，不妨設．

若10填在內頂點處，則作上述互補變換，便得到一個有1填在內頂點處的方案．

于是，10也填在外頂點處．

又，于是或．

不妨假設，，經驗證，此時的填數方案也不存在．

綜上，不存在滿足要求的填數方案．