Question

【題目】已知四棱錐，底面為菱形， ,H為上的點，過的平面分別交于點，且平面．

（1）證明： ；

（2）當為的中點， ，與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）連結交于點，連結．由題意可證得平面，則．由線面平行的性質定理可得，據此即可證得題中的結論；

（2）結合幾何體的空間結構特征建立空間直角坐標系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.

（1）證明：連結交于點，連結．因為為菱形，所以，且為、的中點，因為，所以，

因為且平面，所以平面，

因為平面，所以．

因為平面， 平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因為，且為的中點，

所以，所以平面，所以與平面所成的角為，

所以，所以，因為，所以．

分別以， ， 為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則

，

所以．

記平面的法向量為，則，

令，則，所以，

記平面的法向量為，則，

令，則，所以，

記二面角的大小為，則．

所以二面角的余弦值為 ．